4. 寻找两个有序数组的中位数

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题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1nums2

请你找出这两个有序数组的中位数,并且要求算法的时间复杂度为 $O(log(m + n))$。

你可以假设 nums1nums2 不会同时为空。

示例 1

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0

示例 2

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

题解

public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
    int m = A.length;
    int n = B.length;
    if (m > n) { // 实现 m<=n
        int[] temp = A; A = B; B = temp;
        int tmp = m; m = n; n = tmp;
    }
    int iMin = 0, iMax = m, halfLen = (m + n + 1) / 2;
    while (iMin <= iMax) {
        int i = (iMin + iMax) / 2;
        int j = halfLen - i;
        if (i < iMax && B[j-1] > A[i]){
            iMin = i + 1; // i 太小,需要增大
        }
        else if (i > iMin && A[i-1] > B[j]) {
            iMax = i - 1; // i 太大,需要减小
        }
        else { // i 为合适值,根据不同情况返回不同值
            int maxLeft = 0;
            if (i == 0) { maxLeft = B[j-1]; }
            else if (j == 0) { maxLeft = A[i-1]; }
            else { maxLeft = Math.max(A[i-1], B[j-1]); }
            if ( (m + n) % 2 == 1 ) { return maxLeft; }

            int minRight = 0;
            if (i == m) { minRight = B[j]; }
            else if (j == n) { minRight = A[i]; }
            else { minRight = Math.min(B[j], A[i]); }

            return (maxLeft + minRight) / 2.0;
        }
    }
    return 0.0;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(log(min(m,n)))$,首先,查找的区间是 $[0, m]$。 而该区间的长度在每次循环之后都会减少为原来的一半。 所以,我们只需要执行 $log(m)$ 次循环。由于我们在每次循环中进行常量次数的操作,所以时间复杂度为 $O(log(m))$。 由于 $m≤n$,所以时间复杂度是 $O(log(min(m,n)))$。

  • 空间复杂度:$O(1)$,我们只需要恒定的内存来存储 9 个局部变量, 所以空间复杂度为 $O(1)$。

手记

如果不是对时间复杂度的限制,此题最容易想到的解法是遍历合并数字,然后取中位数。

此题的合理解释涉及到较多的参数推导,例如 $j = (m + n + 1) / 2 - i$,以及合适点的判断条件 $ A[i-1] <= B[j] $ 与 $ B[j-1] <= A[i] $
同时还有边界值的确立方法。建议详细阅读官方题解说明。

笔尖扰乱时空,
墨迹留住过往。
故事归寂
忘不了你的眼
—————《明天没有你》

以上